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高中数学常考重点知识点总结

2022-06-19 15:44:09 0次阅读 投稿:叶丹 0 0

高中数学常考重点知识点总结

  高中数学知识点有很多,包括《集合与函数》《三角函数》《不等式》《数列》《复数》《排列、组合、二项式定理》《立体几何》《平面解析几何》等。数学有哪些知识点  1. 对于集合,一定要抓住集合的代表元素,及元素的“确定性、互异性、无序性”。中元素各表示什么?注重借助于数轴和文氏图解集合问题。空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集。3. 注意下列性质:(3)德摩根定律:4. 你会用补集思想解决问题吗?(排除法、间接法)的取值范围。6. 命题的四种形式及其相互关系是什么?(互为逆否关系的命题是等价命题。)原命题与逆否命题同真、同假;逆命题与否命题同真同假。  7. 对映射的概念了解吗?映射f:A→B,是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性,哪几种对应能构成映射?(一对一,多对一,允许B中有元素无原象。)8. 函数的三要素是什么?如何比较两个函数是否相同?(定义域、对应法则、值域)9. 求函数的定义域有哪些常见类型?10. 如何求复合函数的定义域?义域是_____________。  11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时,注明函数的定义域了吗?12. 反函数存在的条件是什么?(一一对应函数)求反函数的步骤掌握了吗?(①反解x;②互换x、y;③注明定义域)13. 反函数的性质有哪些?①互为反函数的图象关于直线y=x对称;②保存了原来函数的单调性、奇函数性;14. 如何用定义证明函数的单调性?(取值、作差、判正负)如何判断复合函数的单调性?∴……)15. 如何利用导数判断函数的单调性?值是( )A. 0B. 1C. 2D. 3∴a的最大值为3)16. 函数f(x)具有奇偶性的必要(非充分)条件是什么?(f(x)定义域关于原点对称)注意如下结论:  (1)在公共定义域内:两个奇函数的乘积是偶函数;两个偶函数的乘积是偶函数;一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。17. 你熟悉周期函数的定义吗?函数,T是一个周期。)如:18. 你掌握常用的图象变换了吗?注意如下“翻折”变换:19. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗?的双曲线。  应用:①“三个二次”(二次函数、二次方程、二次不等式)的关系——二次方程②求闭区间[m,n]上的最值。③求区间定(动),对称轴动(定)的最值问题。④一元二次方程根的分布问题。由图象记性质! (注意底数的限定!)利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么?20. 你在基本运算上常出现错误吗?21. 如何解抽象函数问题?(赋值法、结构变换法)22. 掌握求函数值域的常用方法了吗?  (二次函数法(配方法),反函数法,换元法,均值定理法,判别式法,利用函数单调性法,导数法等。)如求下列函数的最值:  23. 你记得弧度的定义吗?能写出圆心角为α,半径为R的弧长公式和扇形面积公式吗?24. 熟记三角函数的定义,单位圆中三角函数线的定义  25. 你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗?并由图象写出单调区间、对称点、对称轴吗?(x,y)作图象。  27. 在三角函数中求一个角时要注意两个方面——先求出某一个三角函数值,再判定角的范围。  28. 在解含有正、余弦函数的问题时,你注意(到)运用函数的有界性了吗?29. 熟练掌握三角函数图象变换了吗?(平移变换、伸缩变换)平移公式:图象?30. 熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗?“奇”、“偶”指k取奇、偶数。A. 正值或负值B. 负值C. 非负值D. 正值31. 熟练掌握两角和、差、倍、降幂公式及其逆向应用了吗?理解公式之间的联系:  应用以上公式对三角函数式化简。(化简要求:项数最少、函数种类最少,分母中不含三角函数,能求值,尽可能求值。)具体方法:(2)名的变换:化弦或化切(3)次数的变换:升、降幂公式(4)形的变换:统一函数形式,注意运用代数运算。  32. 正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗?如何实现边、角转化,而解斜三角形?(应用:已知两边一夹角求第三边;已知三边求角。)33. 用反三角函数表示角时要注意角的范围。34. 不等式的性质有哪些?答案:C35. 利用均值不等式:值?(一正、二定、三相等)注意如下结论:36. 不等式证明的基本方法都掌握了吗?(比较法、分析法、综合法、数学归纳法等)并注意简单放缩法的应用。(移项通分,分子分母因式分解,x的系数变为1,穿轴法解得结果。)  38. 用“穿轴法”解高次不等式——“奇穿,偶切”,从最大根的右上方开始39. 解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论40. 对含有两个绝对值的不等式如何去解?(找零点,分段讨论,去掉绝对值符号,最后取各段的并集。)证明:(按不等号方向放缩)  42. 不等式恒成立问题,常用的处理方式是什么?(可转化为最值问题,或“△”问题)43. 等差数列的定义与性质0的二次函数)项,即:44. 等比数列的定义与性质46. 你熟悉求数列通项公式的常用方法吗?例如:(1)求差(商)法解:[练习](2)叠乘法解:(3)等差型递推公式[练习](4)等比型递推公式[练习](5)倒数法47. 你熟悉求数列前n项和的常用方法吗?  例如:(1)裂项法:把数列各项拆成两项或多项之和,使之出现成对互为相反数的项。解:[练习](2)错位相减法:(3)倒序相加法:把数列的各项顺序倒写,再与原来顺序的数列相加。[练习]48. 你知道储蓄、贷款问题吗?△零存整取储蓄(单利)本利和计算模型:若每期存入本金p元,每期利率为r,n期后,本利和为:  △若按复利,如贷款问题——按揭贷款的每期还款计算模型(按揭贷款——分期等额归还本息的借款种类)  若贷款(向银行借款)p元,采用分期等额还款方式,从借款日算起,一期(如一年)后为第一次还款日,如此下去,第n次还清。如果每期利率为r(按复利),那么每期应还x元,满足p——贷款数,r——利率,n——还款期数  49. 解排列、组合问题的依据是:分类相加,分步相乘,有序排列,无序组合。  (2)排列:从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一  (3)组合:从n个不同元素中任取m(m≤n)个元素并组成一组,叫做从n个不50. 解排列与组合问题的规律是:  相邻问题捆绑法;相间隔问题插空法;定位问题优先法;多元问题分类法;至多至少问题间接法;相同元素分组可采用隔板法,数量不大时可以逐一排出结果。如:学号为1,2,3,4的四名学生的考试成绩则这四位同学考试成绩的所有可能情况是( )A. 24B. 15C. 12D. 10解析:可分成两类:(2)中间两个分数相等  相同两数分别取90,91,92,对应的排列可以数出来,分别有3,4,3种,∴有10种。∴共有5+10=15(种)情况51. 二项式定理性质:  (3)最值:n为偶数时,n+1为奇数,中间一项的二项式系数最大且为第表示)52. 你对随机事件之间的关系熟悉吗?的和(并)。  (5)互斥事件(互不相容事件):“A与B不能同时发生”叫做A、B互斥。(6)对立事件(互逆事件):  (7)独立事件:A发生与否对B发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互独立事件。53. 对某一事件概率的求法:分清所求的是:(1)等可能事件的概率(常采用排列组合的方法,即  (5)如果在一次试验中A发生的概率是p,那么在n次独立重复试验中A恰好发生如:设10件产品中有4件次品,6件正品,求下列事件的概率。(1)从中任取2件都是次品;(2)从中任取5件恰有2件次品;(3)从中有放回地任取3件至少有2件次品;解析:有放回地抽取3次(每次抽1件),∴n=103而至少有2件次品为“恰有2次品”和“三件都是次品”(4)从中依次取5件恰有2件次品。解析:∵一件一件抽取(有顺序)  分清(1)、(2)是组合问题,(3)是可重复排列问题,(4)是无重复排列问题。  54. 抽样方法主要有:简单随机抽样(抽签法、随机数表法)常常用于总体个数较少时,它的特征是从总体中逐个抽取;系统抽样,常用于总体个数较多时,它的主要特征是均衡成若干部分,每部分只取一个;分层抽样,主要特征是分层按比例抽样,主要用于总体中有明显差异,它们的共同特征是每个个体被抽到的概率相等,体现了抽样的客观性和平等性。  55. 对总体分布的估计——用样本的频率作为总体的概率,用样本的期望(平均值)和方差去估计总体的期望和方差。要熟悉样本频率直方图的作法:(2)决定组距和组数;(3)决定分点;(4)列频率分布表;(5)画频率直方图。  如:从10名女生与5名男生中选6名学生参加比赛,如果按性别分层随机抽样,则组成此参赛队的概率为____________。56. 你对向量的有关概念清楚吗?(1)向量——既有大小又有方向的量。在此规定下向量可以在平面(或空间)平行移动而不改变。(6)并线向量(平行向量)——方向相同或相反的向量。规定零向量与任意向量平行。(7)向量的加、减法如图:(8)平面向量基本定理(向量的分解定理)的一组基底。(9)向量的坐标表示表示。57. 平面向量的数量积数量积的几何意义:(2)数量积的运算法则[练习]答案:答案:2答案:58. 线段的定比分点※. 你能分清三角形的重心、垂心、外心、内心及其性质吗?59. 立体几何中平行、垂直关系证明的思路清楚吗?平行垂直的证明主要利用线面关系的转化:线面平行的判定:线面平行的性质:三垂线定理(及逆定理):线面垂直:面面垂直:60. 三类角的定义及求法(1)异面直线所成的角θ,0°<θ≤90°(2)直线与平面所成的角θ,0°≤θ≤90°  (三垂线定理法:A∈α作或证AB⊥β于B,作BO⊥棱于O,连AO,则AO⊥棱l,∴∠AOB为所求。)三类角的求法:①找出或作出有关的角。②证明其符合定义,并指出所求作的角。③计算大小(解直角三角形,或用余弦定理)。[练习]  (1)如图,OA为α的斜线OB为其在α内射影,OC为α内过O点任一直线。  (2)如图,正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中对角线BD1=8,BD1与侧面B1BCC1所成的为30°。①求BD1和底面ABCD所成的角;②求异面直线BD1和AD所成的角;③求二面角C1—BD1—B1的大小。  (3)如图ABCD为菱形,∠DAB=60°,PD⊥面ABCD,且PD=AD,求面PAB与面PCD所成的锐二面角的大小。  (∵AB∥DC,P为面PAB与面PCD的公共点,作PF∥AB,则PF为面PCD与面PAB的交线……)61. 空间有几种距离?如何求距离?点与点,点与线,点与面,线与线,线与面,面与面间距离。  将空间距离转化为两点的距离,构造三角形,解三角形求线段的长(如:三垂线定理法,或者用等积转化法)。如:正方形ABCD—A1B1C1D1中,棱长为a,则:(1)点C到面AB1C1的距离为___________;(2)点B到面ACB1的距离为____________;(3)直线A1D1到面AB1C1的距离为____________;(4)面AB1C与面A1DC1的距离为____________;(5)点B到直线A1C1的距离为_____________。62. 你是否准确理解正棱柱、正棱锥的定义并掌握它们的性质?正棱柱——底面为正多边形的直棱柱正棱锥——底面是正多边形,顶点在底面的射影是底面的中心。正棱锥的计算集中在四个直角三角形中:它们各包含哪些元素?63. 球有哪些性质?  (2)球面上两点的距离是经过这两点的大圆的劣弧长。为此,要找球心角!(3)如图,θ为纬度角,它是线面成角;α为经度角,它是面面成角。  (5)球内接长方体的对角线是球的直径。正四面体的外接球半径R与内切球半径r之比为R:r=3:1。积为( )答案:A64. 熟记下列公式了吗?(2)直线方程:65. 如何判断两直线平行、垂直?66. 怎样判断直线l与圆C的位置关系?圆心到直线的距离与圆的半径比较。直线与圆相交时,注意利用圆的“垂径定理”。67. 怎样判断直线与圆锥曲线的位置?68. 分清圆锥曲线的定义  70. 在圆锥曲线与直线联立求解时,消元后得到的方程,要注意其二次项系数是否为零?△≥0的限制。(求交点,弦长,中点,斜率,对称存在性问题都在△≥0下进行。)71. 会用定义求圆锥曲线的焦半径吗?如:通径是抛物线的所有焦点弦中最短者;以焦点弦为直径的圆与准线相切。72. 有关中点弦问题可考虑用“代点法”。答案:73. 如何求解“对称”问题?  (1)证明曲线C:F(x,y)=0关于点M(a,b)成中心对称,设A(x,y)为曲线C上任意一点,设A'(x',y')为A关于点M的对称点。75. 求轨迹方程的常用方法有哪些?注意讨论范围。(直接法、定义法、转移法、参数法)  76. 对线性规划问题:作出可行域,作出以目标函数为截距的直线,在可行域内平移直线,求出目标函数的最值。高中数学公式口诀《集合与函数》内容子交并补集,还有幂指对函数。性质奇偶与增减,观察图象最明显。复合函数式出现,性质乘法法则辨,若要详细证明它,还须将那定义抓。指数与对数函数,两者互为反函数。底数非1的正数,1两边增减变故。函数定义域好求。分母不能等于0,偶次方根须非负,零和负数无对数正切函数角不直,余切函数角不平;其余函数实数集,多种情况求交集。两个互为反函数,单调性质都相同;图象互为轴对称,Y=X是对称轴求解非常有规律,反解换元定义域;反函数的定义域,原来函数的值域。幂函数性质易记,指数化既约分数;函数性质看指数,奇母奇子奇函数,奇母偶子偶函数,偶母非奇偶函数;图象第一象限内,函数增减看正负。《三角函数》三角函数是函数,象限符号坐标注。函数图象单位圆,周期奇偶增减现。同角关系很重要,化简证明都需要。正六边形顶点处,从上到下弦切割中心记上数字1,连结顶点三角形;向下三角平方和,倒数关系是对角,顶点任意一函数,等于后面两根除。诱导公式就是好,负化正后大化小,变成税角好查表,化简证明少不了。二的一半整数倍,奇数化余偶不变,将其后者视锐角,符号原来函数判。两角和的余弦值,化为单角好求值,余弦积减正弦积,换角变形众公式。和差化积须同名,互余角度变名称。计算证明角先行,注意结构函数名,保持基本量不变,繁难向着简易变。逆反原则作指导,升幂降次和差积。条件等式的证明,方程思想指路明。万能公式不一般,化为有理式居先。公式顺用和逆用,变形运用加巧用1加余弦想余弦,1 减余弦想正弦,幂升一次角减半,升幂降次它为范三角函数反函数,实质就是求角度,先求三角函数值,再判角取值范围利用直角三角形,形象直观好换名,简单三角的方程,化为最简求解集《不等式》解不等式的途径,利用函数的性质。对指无理不等式,化为有理不等式。高次向着低次代,步步转化要等价。数形之间互转化,帮助解答作用大。证不等式的方法,实数性质威力大。求差与0比大小,作商和1争高下。直接困难分析好,思路清晰综合法。非负常用基本式,正面难则反证法。还有重要不等式,以及数学归纳法。图形函数来帮助,画图建模构造法。《数列》等差等比两数列,通项公式N项和。两个有限求极限,四则运算顺序换。数列问题多变幻,方程化归整体算。数列求和比较难,错位相消巧转换,取长补短高斯法,裂项求和公式算。归纳思想非常好,编个程序好思考:一算二看三联想,猜测证明不可少。还有数学归纳法,证明步骤程序化:首先验证再假定,从 K向着K加1,推论过程须详尽,归纳原理来肯定。《复数》虚数单位i一出,数集扩大到复数。一个复数一对数,横纵坐标实虚部。对应复平面上点,原点与它连成箭。箭杆与X轴正向,所成便是辐角度。箭杆的长即是模,常将数形来结合。代数几何三角式,相互转化试一试。代数运算的实质,有i多项式运算。i的正整数次慕,四个数值周期现。一些重要的结论,熟记巧用得结果。虚实互化本领大,复数相等来转化。利用方程思想解,注意整体代换术。几何运算图上看,加法平行四边形,减法三角法则判;乘法除法的运算,逆向顺向做旋转,伸缩全年模长短。三角形式的运算,须将辐角和模辨。利用棣莫弗公式,乘方开方极方便。辐角运算很奇特,和差是由积商得。四条性质离不得,相等和模与共轭,两个不会为实数,比较大小要不得。复数实数很密切,须注意本质区别。《排列、组合、二项式定理》加法乘法两原理,贯穿始终的法则。与序无关是组合,要求有序是排列。两个公式两性质,两种思想和方法。归纳出排列组合,应用问题须转化。排列组合在一起,先选后排是常理。特殊元素和位置,首先注意多考虑。不重不漏多思考,捆绑插空是技巧。排列组合恒等式,定义证明建模试。关于二项式定理,中国杨辉三角形。两条性质两公式,函数赋值变换式。《立体几何》点线面三位一体,柱锥台球为代表。距离都从点出发,角度皆为线线成。高中《立体几何》高中《立体几何》垂直平行是重点,证明须弄清概念。线线线面和面面、三对之间循环现。方程思想整体求,化归意识动割补。计算之前须证明,画好移出的图形。立体几何辅助线,常用垂线和平面。射影概念很重要,对于解题最关键。异面直线二面角,体积射影公式活。公理性质三垂线,解决问题一大片。《平面解析几何》有向线段直线圆,椭圆双曲抛物线,参数方程极坐标,数形结合称典范。笛卡尔的观点对,点和有序实数对,两者—一来对应,开创几何新途径。两种思想相辉映,化归思想打前阵;都说待定系数法,实为方程组思想。三种类型集大成,画出曲线求方程,给了方程作曲线,曲线位置关系判。四件工具是法宝,坐标思想参数好;平面几何不能丢,旋转变换复数求。解析几何是几何,得意忘形学不活。图形直观数入微,数学本是数形学。

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